Question

1．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，点E是BB₁的中点，则D₁A与平面AEC所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{13}}}{5}$

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，利用向量的方法，即可求出D₁A与平面AEC所成角的余弦值．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），E（2，0，2），
D₁（0，2，4），
∴$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，2，4），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（2，0，2），
设平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2x+2z=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴D₁A与平面AEC所成角的余弦值为|$\frac{-2-4}{\sqrt{4+16}•\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
故选A．

点评 本题考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．