Question

14．已知函数f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）奇偶性，并说明理由
（3）求出函数f（x）单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据对数的真数为正数确定f（x）的定义域，根据真数的范围确定函数的值域；
（2）利用奇偶性定义证明f（x）为偶函数；
（3）t=-x²+9在（-3，0]上单调递增，[0，3）上单调递减，函数y=log₃t在（0，+∞）单调递增，根据复合函数的单调性可得函数f（x）的单调增区间（-3，0]，单调减区间[0，3）

解答 解：（1）根据函数式，自变量x需满足：$\left\{\begin{array}{l}{x+3＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，
解得，x∈（-3，3），即函数的定义域为（-3，3），
又f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（9-x²）
∵9-x²∈（0，9]，∴log₃（9-x²）∈（-∞，2]，
即f（x）的值域为（-∞，2]；
（2）由（1）可知函数f（x）的定义域关于原点对称，
且f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x），
所以函数f（x）为偶函数．
（3）∵t=9-x²在（-3，0]上单调递增．在（0，3]上单调递减
∵函数y=log₃t在（0，+∞）单调递增
根据复合函数的单调性可得函数f（x）的单调增区间（-3，0]，单调减区间[0，3）．

点评 本题主要考查了函数定义域，值域的求法，函数奇偶性的判断与证明，对数的运算性质，属于中档题．