Question

5．椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$中a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AF⊥BF，可得AO=2$\sqrt{3}$，求出A的纵坐标，即可求出三角形△AF₂B的面积．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$中a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$，
∵椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，
∴AO=BO=OF=2$\sqrt{3}$，
设A（x，y），则x²+y²=12，
∵椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，联立消去x，化简可得|y|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴三角形△AF₂B的面积是2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=4，
故选：B．

点评 本题考查三角形△AFB的面积，考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．