Question

10．设x＞0，y＞0，则（x+$\frac{4}{y}$）²+$\frac{y}{x}$的最小值为8．

Answer 1

分析 x＞0，y＞0，（x+$\frac{4}{y}$）²+$\frac{y}{x}$=${x}^{2}+\frac{16}{{y}^{2}}$+$\frac{8x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥$\frac{8x}{y}$+8xy+$\frac{y}{x}$=$\frac{16x}{y}$+$\frac{x}{y}$≥8，即可得出结论．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴（x+$\frac{4}{y}$）²+$\frac{y}{x}$=${x}^{2}+\frac{16}{{y}^{2}}$+$\frac{8x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥$\frac{8x}{y}$+8xy+$\frac{y}{x}$=$\frac{16x}{y}$+$\frac{x}{y}$≥8，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{16}{{y}^{2}}}\\{\frac{16x}{y}=\frac{x}{y}}\end{array}\right.$，即x=1，y=4时，（x+$\frac{4}{y}$）²+$\frac{y}{x}$的最小值为8，
故答案为：8．

点评 本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．