Question

15．已知等差数列{a_n }中，a₂+a₆=6，S_n 为其前n项和，S₅=$\frac{35}{3}$．
（1）求数列{a_n }的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质求出数列的首项与公差，然后求解通项公式．
（2）求出数列的前n项和，利用函数的单调性求解和的最小值即可．

解答 解　（1）由a₂+a₆=6，得a₄=3，又由S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=5a₃=$\frac{35}{3}$，得a₃=$\frac{7}{3}$，
设等差数列{a_n}的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=\frac{7}{3}}\\{{a}_{1}+3d=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴a_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$．--------（7分）
（2）${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d=n+\frac{n（n-1）}{3}=\frac{1}{3}（{n^2}+2n）$----------（10分）
因为，${S_n}=\frac{1}{3}{（n+1）^2}-\frac{1}{3}$，当n≥1时，是单调递增的，
所以，当n=1时，S_n有最小值是S₁=1．---------（14分）

点评 本题考查等差数列求和，通项公式的求法，数列的函数特征，考查计算能力．