Question

7．设定义在区间[-k，k]上的函数f（x）=lg$\frac{1-mx}{1+x}$是奇函数，且f（-$\frac{1}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$），若[x]表示不超过x的最大整数，x₀是函数g（x）=lnx+2x+k-6的零点，则[x₀]=（　　）

• A． 1
• B． 1或2
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用定义在区间[-k，k]上的函数f（x）=lg$\frac{1-mx}{1+x}$是奇函数，求出m=1，0＜k＜1，利用函数g（x）=lnx+2x+k-6在（0，+∞）上单调递增，g（2）=ln2+k-2＜0，g（3）=ln3+k＞0，即可得出结论．

解答 解：∵定义在区间[-k，k]上的函数f（x）=lg$\frac{1-mx}{1+x}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴1-m²x²=1-x²，∴m=±1，
m=-1时，f（x）=0，不满足f（-$\frac{1}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$），∴m=1，
∴f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$，定义域为（-1，1），
∴[-k，k]⊆[-1，1]，∴0＜k＜1，
∵函数g（x）=lnx+2x+k-6在（0，+∞）上单调递增，
g（2）=ln2+k-2＜0，g（3）=ln3+k＞0，
∴x₀∈（2，3），
∴[x₀]=2，
故选C．

点评 本题考查函数奇偶性，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于中档题．