Question

9．已知函数f（x）=ax³-bx²+cx+b-a（a＞0）．
（1）设c=0．
①若a=b，曲线y=f（x）在x=x₀处的切线过点（1，0），求x₀的值；
②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．
（2）设f（x）在x=x₁，x=x₂两处取得极值，求证：f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂不同时成立．

Answer 1

分析 （1）①计算f′（1），得出切线方程，代入点（1，0）列方程解出x₀；
②求出f（x）的极值点，判断两极值点的大小及与区间[0，1]的关系，从而得出f（x）在[0，1]上的单调性，得出最大值；
（2）使用反证法证明．

解答 解：（1）当c=0时，f（x）=ax³-bx²+b-a．
①若a=b，则f（x）=ax³-ax²，
从而f'（x）=3ax²-2ax，
故曲线y=f（x）在x=x₀处的切线方程为$y-（a{x_0}^3-a{x_0}^2）$=$（3a{x_0}^2-2a{x_0}）（x-{x_0}）$．
将点（1，0）代入上式并整理得${x_0}^2（1-{x_0}）$=x₀（1-x₀）（3x₀-2），
解得x₀=0或x₀=1．
②若a＞b，则令f'（x）=3ax²-2bx=0，解得x=0或$x=\frac{2b}{3a}＜1$．
（ⅰ）若b≤0，则当x∈[0，1]时，f'（x）≥0，
∴f（x）为区间[0，1]上的增函数，
∴f（x）的最大值为f（1）=0．
（ ii）若b＞0，列表：

x	0	（0，$\frac{2b}{3a}$）	$\frac{2b}{3a}$	（$\frac{2b}{3a}$，1）	1
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	b-a＜0	减函数	极小值	增函数	0

所以f（x）的最大值为f（1）=0．
综上，f（x）的最大值为0．
（2）假设存在实数a，b，c，使得f（x₁）=x₁与f（x₂）=x₂同时成立．
不妨设x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂）．
因为x=x₁，x=x₂为f（x）的两个极值点，
所以f'（x）=3ax²-2bx+c=3a（x-x₁）（x-x₂）．
因为a＞0，所以当x∈[x₁，x₂]时，f'（x）≤0，
故f（x）为区间[x₁，x₂]上的减函数，
从而f（x₁）＞f（x₂），这与f（x₁）＜f（x₂）矛盾，
故假设不成立．
既不存在实数a，b，c，使得f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂同时成立．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．