Question

14．（1）已知α，β都是锐角，cosα=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{5}{13}$，求cosβ的值．
（2）若cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{4}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{4}$），求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）根据同角三角函数基本关系的应用分别求得sinα和sin（α+β）的值，进而根据余弦的两角和公式求得答案．
（2）由角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin（$\frac{π}{4}$-α），进而利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．

解答 解：（1）∵α，β都是锐角，cosα=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{5}{13}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{12}{13}$，
∴cosβ=cos（α+β-α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（-$\frac{5}{13}$）×$\frac{4}{5}$+$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{16}{65}$．
（2）∵α∈（0，$\frac{π}{4}$），cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{π}{4}$-α∈（0，$\frac{π}{4}$），sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}-α）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=cos[（$\frac{π}{4}$-α）-$\frac{π}{4}$]=cos（$\frac{π}{4}$-α）cos$\frac{π}{4}$+sin（$\frac{π}{4}$-α）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查了余弦函数的两角和与差公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，注重了对学生基础知识的考查．