Question

4．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长相等，则AB₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 根据正三棱柱及线面角的定义知，取A₁C₁的中点D₁，∠B₁AD₁是所求的角，再由已知求出正弦值．

解答 解：取A₁C₁的中点D₁，连接B₁D₁，AD₁，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁D₁⊥面ACC₁A₁，
则∠B₁AD₁是AB₁与侧面ACC₁A₁所成的角，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长相等，
∴sin∠B₁AD₁=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{A{B}_{1}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AB}{\sqrt{2}AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是中档题．