Question

12．函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x-1．
（1）求f（x）的函数解析式；
（2）写出函数f（x）的单调区间及最值；
（3）当关于x的方程f（x）=m有四个不同的解时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，-x＞0，由已知中当x≥0时，f（x）=x²-2x-1，及函数f（x）是定义在R上的偶函数，可求出当x＜0时函数的解析式，进而得到答案，
（2）由二次函数的图象画法可得到函数的草图；根据图象写出函数f（x）的单调区间及最值；
（3）由图象可得结论．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
则当x≥0时，f（x）=x²-2x-1，
则f（-x）=（-x）²-2（-x）-1=x²+2x-1，
∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）=x²+2x-1，
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x-1，x≥0}\\{{x^2}+2x-1，x＜0}\end{array}}\right.$；
（2）单调增区间为[-1，0]和（1，+∞），单调减区间为（-∞，-1]和[0，1]；
当x=1或x=-1时，f（x）有最小值-2，无最大值；
（3）关于x的方程f（x）=m有四个不同的解，即有直线y=m与y=f（x）的图象有四个交点，由图象可知，m的取值范围是（-2，-1）．

点评 本题考查的知识点是函数图象，函数的单调区间，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．