Question

9．如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=BC=CA，D，D₁分别是BC，B₁C₁的中点，四边形ADD₁A₁是菱形，且平面ADD₁A₁⊥平面CBB₁C₁．
（Ⅰ）求证：四边形CBB₁C₁为矩形；
（Ⅱ）若$∠AD{D_1}=\frac{π}{3}$，且A-BB₁C₁C体积为$\sqrt{3}$，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作AO⊥DD₁，证明BC⊥平面ADD₁A₁，即可证明四边形CBB₁C₁为矩形；
（Ⅱ）若$∠AD{D_1}=\frac{π}{3}$，且A-BB₁C₁C体积为$\sqrt{3}$，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直截面的周长，即可求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积．

解答 （Ⅰ）证明：作AO⊥DD₁，则
∵平面ADD₁A₁⊥平面CBB₁C₁，平面ADD₁A₁∩平面CBB₁C₁=DD₁，∴AO⊥平面CBB₁C₁，
∴AO⊥BC，
∵AB=BC=CA，D是BC的中点，∴BC⊥AD，
∵AO∩AD=A，
∴BC⊥平面ADD₁A₁，
∴BC⊥DD₁，∴BC⊥CC₁，
∴四边形CBB₁C₁为矩形；
（Ⅱ）解：设AB=2a，则AO=$\frac{3}{2}$a，BB₁=$\sqrt{3}$a，
∴A-BB₁C₁C体积=$\frac{1}{3}×2a×\sqrt{3}a×\frac{3}{2}a$=$\sqrt{3}$，∴a=1，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直截面的边长分别为2，$\sqrt{\frac{9}{4}+1}$，$\sqrt{\frac{9}{4}+1}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积=（2+$\frac{\sqrt{13}}{2}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$）×2=4+2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．