Question

14．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$）的取值范围是（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

Answer 1

分析 设a，b，c分别为a，aq，aq²．则有$\left\{\begin{array}{l}{a+aq＞a{q}^{2}}\\{a+a{q}^{2}＞aq}\\{aq+a{q}^{2}＞a}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}+q-1＞0…①}\\{{q}^{2}-q+1＞0…②}\\{{q}^{2}+q-1＞0…③}\end{array}\right.$⇒$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜q＜\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．化简sinA（$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$）=q即可

解答 解：∵△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
∵a，b，c成等比数列，sin²B=sinAsinB
设a，b，c分别为a，aq，aq²．
则有$\left\{\begin{array}{l}{a+aq＞a{q}^{2}}\\{a+a{q}^{2}＞aq}\\{aq+a{q}^{2}＞a}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}+q-1＞0…①}\\{{q}^{2}-q+1＞0…②}\\{{q}^{2}+q-1＞0…③}\end{array}\right.$⇒$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＜q＜\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
 sinA（$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}$）=sinA（$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}$）=sinA$•\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$
=$\frac{sinAsinC}{sinAsinB}=\frac{si{n}^{2}B}{sinAsinB}=\frac{sinB}{sinA}=\frac{b}{a}=q$
∴sinA（$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$）的取值范围是：（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、等比中项，及三角形三边的数量关系，属于中档题