Question

19．已知函数f（x）=（ax+1）e^x-（a+1）x-1．
（1）求y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若x＞0时，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f'（0）=0，再求出f（0）=0，利用直线方程的点斜式求得y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）e^x-（a+1），则g′（x）=（ax+1+2a）e^x，然后对a分类分析，当a≥0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，结合g（0）=0，可得g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，再由f（0）=0，可得x＞0时，不等式f（x）＞0恒成立；当a＜0时，由导数分析x＞0时，不等式f（x）＞0不恒成立，由此可得a的取值范围．

解答 解：（1）∵f'（x）=（ax+1+a）e^x-（a+1），
∴f'（0）=0，
因此y=f（x）在（0，f（0））处的切线l的斜率为0，
又f（0）=0，
∴y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=0；
（2）当x＞0时，f（x）=（ax+1）e^x-（a+1）x-1＞0恒成立，
令g（x）=f′（x）=（ax+1+a）e^x-（a+1），则g′（x）=（ax+1+2a）e^x，
若a≥0，则g′（x）=（ax+1+2a）e^x＞0，g（x）=（ax+1+a）e^x-（a+1）在（0，+∞）上为增函数，
又g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为增函数，
由f（0）=0，∴x＞0时，不等式f（x）＞0恒成立；
若a＜0，当a$≤-\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0在（0，+∞）上成立，g（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵g（0）=0，∴g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为减函数，
由f（0）=0，∴x＞0时，不等式f（x）＞0不成立；
当$-\frac{1}{2}$＜a＜0时，x∈（0，$-\frac{2a+1}{a}$）时，g′（x）＞0，x∈（$-\frac{2a+1}{a}，+∞$）时，g′（x）＜0，
g（x）在（0，+∞）上有最大值为g（$-\frac{2a+1}{a}$），当x→+∞时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴存在x₀∈（$-\frac{2a+1}{a}，+∞$），使f（x）＜0，即x＞0时，不等式f（x）＞0不恒成立．
综上，a的取值范围为[0，+∞）．

点评 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是难题．