Question

11．若关于x的方程x³-3x+m=0在[0，2]上有两个根，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [0，2）
• B． [-2，2）
• C． （-2，0]
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 作出y=-x³+3x的函数图象，根据f（x）=m有两解得出m的范围．

解答 解：由x³-3x+m=0得m=-x³+3x，
令f（x）=-x³+3x，则f′（x）=-3x²+3=3（1-x²），
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，在（1，2]上单调递减，
又f（0）=0，f（1）=2，f（2）=-2，
作出f（x）在[0，2]上的函数图象如图所示：

∵关于x的方程x³-3x+m=0在[0，2]上有两个根，即m=f（x）有两根，
∴0≤m＜2．
故选：A．

点评 本题考查了函数单调性的判断与最值计算，方程根与函数图象的关系，属于中档题．