Question

2．已知数列{a_n}为等差数列，a₃=5，公差d≠0，且其中的三项a₁，a₂，a₅成等比．
（1）求数列{a_n}的通项公式以及它的前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n；
（3）在（2）的条件下，若不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．
（3）对n分类讨论，利用基本不等式的性质、数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）由题意$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+2d=5}\\{a_2^2={a_1}{a_5}}\end{array}}\right.$…（1分）    
又∵d≠0，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=2}\end{array}}\right.$…（2分）
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1…（3分）
∴${S_n}=\frac{{（{a_1}+{a_n}）×n}}{2}=\frac{（1+2n-1）×n}{2}={n^2}$…（4分）
（2）∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（5分）
∴T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．…（7分）
（3）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立，只需不等式λ＜$\frac{（n+8）（2n+1）}{n}$=2n+$\frac{8}{n}$+17恒成立即可，…（8分）
∵$2n+\frac{8}{n}$≥8，等号在n=2时取得，∴λ＜25．…（9分）
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立，
只需不等式λ＜$\frac{（n-8）（2n+1）}{n}$=2n-$\frac{8}{n}$-15恒成立即可，…（10分）
∵2n-$\frac{8}{n}$是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-$\frac{8}{n}$取得最小值-6，∴λ＜-21．…（11分）
综合①②可得λ的取值范围是（-∞，-21）…（12分）

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、恒成立等价转化能力、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．