Question

设函数f（x）=x³+ax²+bx（a∈R），已知曲线y=f（x）在点M（-1，f（-1））处的切线方程是y=4x+3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[m，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则先求出f^′（x），由题意可得

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b=-1

，解出即可；
（II）利用（I）可得f^′（x），令f^′（x）=0，解得x=1或-

1

3

．分类讨论m与-

1

3

的大小关系及单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f^′（x）=3x²+2ax+b，
由题意可得

f′(-1)=3-2a+b=4 f(-1)=-1+a-b=-1

，
∴

a=-1 b=-1

．
（Ⅱ）由（I）可知：f（x）=x³-x²-x，
∴f^′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
令f^′（x）=0，解得x=1或-

1

3

．
①当-

1

3

＜x＜1时，f^′（x）＜0，∴f（x）在[m，1]上单调递减，
∴f（x）的最大值为：f（m）=m³-m²-m；
②当m=-

1

3

时，同上；
③当m＜-

1

3

时，由x∈(m，-

1

3

)，得f^′（x）＞0，f（x）在此区间上单调递增；
由x∈(-

1

3

，1)，f^′（x）＜0，f（x）在此区间上单调递减．
故f（x）在x=-

1

3

时取得极大值，也是最大值，f(-

1

3

)=

5

27

．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值及分类讨论的思想方法是解题的关键．