Question

13．已知复数${z_1}=\frac{15-5i}{{{{（2+i）}^2}}}，{z_2}=a-3i（a∈R）$．
（1）若a=2，求${z_1}•\overline{z_2}$；
（2）若$z=\frac{z_1}{z_2}$是纯虚数，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则化简z₁，进而得出．
（2）利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．

解答 解：（1）z₁=$\frac{15-5i}{（2+i）^{2}}$=$\frac{15-5i}{3+4i}$=$\frac{（15-5i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=1-3i．
a=2时，∴${z_1}•\overline{z_2}$=（1-3i）（2+3i）=11-3i．
（2）$z=\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{1-3i}{a-3i}$=$\frac{（1-3i）（a+3i）}{（a-3i）（a+3i）}$=$\frac{a+9+（3-3a）i}{{a}^{2}+9}$是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+9=0}\\{3-3a≠0}\end{array}\right.$，a=-9．

点评 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．