Question

3．某品牌汽车的4S店对最近60位采用分期付款的购车者人数进行统计，统计结果如下表所示：

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期
频数	20	a	14	b

已知分4期付款的频率为$\frac{1}{6}$，并且4S店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为2万元，分4期付款其利润为3万元，以频率作为概率．
（1）求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；
（2）用X表示销售一两该品牌汽车的利润，求X的分布列及数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）分4期付款的频率为$\frac{1}{6}$，即$\frac{b}{60}=\frac{1}{6}$，求得b和a的值，由P（A）=${C}_{3}^{0}$（1-$\frac{1}{6}$）³+${C}_{3}^{1}$（$\frac{1}{6}$）•（1-$\frac{1}{6}$）²=$\frac{25}{27}$；
（2）由X的取值为：1，2，3，分别求得P（x=1），P（x=2）和P（x=3），列出其分布列，即可求得数学期望E（X）．

解答 解：（1）由概率公式可知P=$\frac{b}{60}=\frac{1}{6}$，
∴b=10，a=60-20-14-10=16，
∴P（A）=${C}_{3}^{0}$（1-$\frac{1}{6}$）³+${C}_{3}^{1}$（$\frac{1}{6}$）•（1-$\frac{1}{6}$）²=$\frac{25}{27}$，…（5分）
（2）X的取值为：1，2，3，
$P（{X=1}）=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$，
$P（{X=2}）=\frac{16}{60}=\frac{1}{2}$，
$P（{X=3}）=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$．
X的分布列为：

X	1	2	4
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

∴$E（X）=1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}=\frac{11}{6}$．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量及其分布列，以及离散型随机变量的期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．