Question

【题目】如图，在三棱锥中，，点为边的中点.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：（1）由题意，平面，得，又△为等边三角形，得，与相交于点，利用线面垂直的判定定理得 平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到结论．

（2）由（1）可知，以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到二面角的余弦值．

详解：（1）由题意，平面，平面，可得，又△为等边三角形，点为边的中点，可得，与相交于点，则 平面，平面，所以，平面 平面．

（2）由（1）可知，在直角三角形中，，，可得，以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系．

可得，，，，

，，，，

设为平面的一个法向量，则

，得，

同理可得，为平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，

，

所以，二面角余弦值为．