Question

已知函数f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a≥0），g（x）=x+1．
（1）求证：e^x≥g（x）；
（2）若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）e^x≥g（x）即e^x-x-1≥0；令h（x）=e^x-x-1，利用导数研究其单调性极值与最值，只要证明h（x）_min≥0即可．
（2）函数f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a≥0，x＞0），可得f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

．由于函数f（x）在其定义域内是单调函数，且a≥0．因此f′（x）≥0恒成立，即ax²-2x+a≥0恒成立．对a分类讨论即可得出．

解答： （1）证明：e^x≥g（x）即e^x-x-1≥0；
令h（x）=e^x-x-1，则h′（x）=e^x-1．
令h′（x）=0，解得x=0．当x＞0时，h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增；当x＜0时，h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减．
∴当x=0时，函数h（x）取得极小值即最小值，∴h（x）≥h（0）=e⁰-0-1=0．
∴e^x-x-1≥0即e^x≥g（x）；
（2）函数f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a≥0，x＞0），
∴f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

．
∵函数f（x）在其定义域内是单调函数，且a≥0．
∴f′（x）≥0恒成立，即ax²-2x+a≥0恒成立．
当a=0时，化为-2x≥0，即x≤0，不满足x＞0，应该舍去．
当a＞0时，由ax²-2x+a≥0恒成立，∴△=4-4a²≤0，解得a≥1．
综上可得：a的取值范围是a≥1．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、证明不等式、二次函数的解集与判别式的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．