Question

已知函数f（x）=

1

4

（sin²x-cos²x+

3

）-

3

2

sin²（x-

π

4

），x∈R
（1）求函数f（x）的单调增区间：
（ 2）设△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且f（B）=

1

2

，b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而利用正弦函数的性质求得函数的单调区间．
（2）根据f（B）的值求得B，然后利用余弦定理建立关于a和c的等式，利用基本不等式求得ac的范围，最后利用三角形面积公式即可求得三角形面积的最大值．

解答： 解：（1）f(x)=

1

4

(

3

-cos2x)-

3

2

×

1-cos(2x- π 2 )

2

=

1

2

(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)=

1

2

sin(2x-

π

6

)，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）f(B)=

1

2

，
∴sin(2B-

π

6

)=1∴B=

π

3

，
在△ABC中，由余弦定理：4=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

4

×4=

3

∴△ABC面积的最大值为

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的综合掌握．