Question

已知圆x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M（4，-8）．
（1）过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程；
（2）过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）先将圆的方程化成标准式，求出圆心O和半径，再根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线AB的距离，则就可以利用点到直线的距离公式求出直线AB的斜率，问题获解；
（2）利用切线的性质可知，切线长、半径、M点到圆心距离满足勾股定理，则切线长可求；再利用切点与点M的连线和半径垂直以及切点C，D都在圆上列出方程组，两式相减即可得到CD所在直线的方程．

解答： 解：x²+y²-4x+2y-3=0可化为：（x-2）²+（y+1）²=8，所以圆心O为（2，-1），半径r=2

2

；
（1）由题意设割线方程为y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0 ①，因为半径r=2

2

，|AB|=4，所以圆心到割线距离d=

r2-( |AB| 2 )2

=2，
∴，

|2k+1-4k-8|

k2+1

=2，解得k=-

45

28

，代入①得直线方程为45x+28y+44=0；经验证，x=4也符合题意．
所以直线AB方程为45x+28y+44=0或x=4．
（2）易知|MO|=

(4-2)2+(-8+1)2

=

53

，∴切线长l=

|MO|2-r2

=3

5

；
设切点坐标为（x，y），则由题意得

y+1 x-2 • y+8 x-4 =-1 x2+y2-4x+2y-3=0

，即

x2+y2-6x+9y+16=0 x2+y2-4x+2y-3=0

两式相减得CD方程为2x-7y-19=0．

点评：有关圆的弦长问题一般会用到垂径定理，侧重考查圆的几何性质；而第二问则采用了“交轨法”．