Question

已知函数y=cos2x+

3

sin2x+1，x∈R．
（1）求它的振幅、周期和初相．
（2）该函数的图象是由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？
（3）用五点法作出它一个周期范围的简图．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,两角和与差的正弦函数,y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）函数y=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，由此能求出它的振幅、周期和初相．
（2）y=sinx的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y=2sinx；y=2sinx的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

2

，得到y=2sin2x；y=2sin2x设x轴向左平移

π

12

个单位，得到y=2sin（2x+

π

6

）；y=2sin（2x+

π

6

）沿y轴向上平移1个单位，得到y=2sin（2x+

π

6

）+1．
（3）选取五个点（-

π

12

，1），（

π

6

，2），（

5π

12

，1），（

2π

3

，0），（

11π

12

，1），由此能作出它一个周期范围的简图．

解答： 解：（1）函数y=cos2x+

3

sin2x+1，x∈R
=2sin（2x+

π

6

）+1，
它的振幅为A=2，周期T=

2π

2

=π，初相φ=

π

6

．
（2）①y=sinx的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y=2sinx．
②y=2sinx的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

2

，得到y=2sin2x．
③y=2sin2x设x轴向左平移

π

12

个单位，得到y=2sin（2x+

π

6

）．
④y=2sin（2x+

π

6

）沿y轴向上平移1个单位，得到y=2sin（2x+

π

6

）+1．
（3）选取（-

π

12

，1），（

π

6

，2），（

5π

12

，1），（

2π

3

，0），（

11π

12

，1）五个点，
用“五点法”能作出它一个周期范围的简图．

点评：本题考查三角函数的振幅、周期和初相的求法，考查三角函数的图象平移和伸缩变换，考查用五点法作出三角函数在一个周期范围的简图．解题时要认真审题，是中档题．