Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数f（x）的单调减区间．
（3）直线y=

3

与函数f（x）图象的所交的坐标．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由图象直接得到A，T，结合周期公式求ω，由五点作图的第一点求得φ；
（2）直接由复合函数的单调性求解函数f（x）的单调减区间；
（3）由f（x）=

3

求解x的取值，则直线y=

3

与函数f（x）图象所交的坐标可求．

解答： 解：（1）由图可知，A=2，T=

7π

2

-(-

π

2

)=4π，
∴ω=

1

2

．
由五点作图第一点知

1

2

×(-

π

2

)+φ=0，解得φ=

π

4

．
∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

4

）；
（2）由

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，
解得

π

2

+4kπ≤x≤

5π

2

+4kπ，k∈Z．
∴f（x）的单调减区间为[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ]，k∈Z；
（3）由f（x）=2sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

，得
sin（

1

2

x+

π

4

）=

3

2

，
即

1

2

x+

π

4

=

π

3

+2kπ或

1

2

x+

π

4

=

2π

3

+2kπ，
解得：x=

π

6

+4kπ，k∈Z或x=

5π

6

+4kπ，k∈Z．
∴直线y=

3

与函数f（x）图象的所交的坐标为（

π

6

+4kπ，

3

），k∈Z或（

5π

6

+4kπ，

3

），k∈Z．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了函数图象的交点坐标，是中档题．