Question

求证：cosx+cos2x+…+cosnx=

cos n+1 2 x•sin n 2 x

sin x 2

．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：三角函数的求值

分析：利用2sin

x

2

cosnx=sin(

x

2

+nx)+sin(

x

2

-nx)．及和差化积即可得出．

解答： 证明：∵2sin

x

2

cosnx=sin(

x

2

+nx)+sin(

x

2

-nx)．
∴2sin

x

2

（cosx+cos2x+…+cosnx）=（sin

3x

2

-sin

x

2

）+(sin

5x

2

-

3x

2

)+…+(sin

1+2n

2

x-sin

1-2n

2

x)
=sin

1+2n

2

x-sin

x

2

=2cos

n+1

2

xsin

n

2

x．
∴cos+cos2x+…+cosnx=

cos n+1 2 x•sin n 2 x

sin x 2

．

点评：本题考查了积化和差、和差化积，属于基础题．