Question

已知f（x）=cosx+cos（x+

π

2

）．
（1）求f（

π

12

）；
（2）设α、β∈（-

π

2

，0），f（α+

3π

4

）=-

3 2

5

，f（

π

4

-β）=-

5 2

13

，求cos（α+β）．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=

2

cos（x+

π

4

），从而求得f（

π

12

）的值．
（2）由f（α+

3π

4

）=-

3 2

5

，求得cosα=

3

5

．再根据又α的范围，求得sinα 的值．由f（

π

4

-β）=-

5 2

13

，求得sinβ，结合β的范围，可得cosβ 的值，从而求得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ 的值．

解答： 解：（1）f（x）=cosx+cos（x+

π

2

）=cosx-sinx=

2

cos（x+

π

4

）．
∴f（

π

12

）=

2

cos（

π

12

+

π

4

）=

2

cos

π

3

=

2

2

．
（2）∵f（α+

3π

4

）=

2

cos（α+π）=-

2

cosα=-

3 2

5

，∴cosα=

3

5

．
又α、β∈（-

π

2

，0），∴sinα=-

4

5

．
∵f（

π

4

-β）=

2

cos（

π

2

-β）=

2

sinβ=-

5 2

13

，∴sinβ=-

5

13

，∴cosβ=

12

13

．
故 cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

3

5

×

12

13

-（-

4

5

）•（-

5

13

）=

16

65

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，注意三角函数值的符号，属于基础题．