Question

已知等差数列{a_n}中，a₃=9，a₈=29．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n的表达式；
（Ⅱ）记数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，求T₁₀₀的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n的表达式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，由此利用裂项求和法能求出T₁₀₀的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}中，a₃=9，a₈=29，
∴

a1+2d=9 a1+7d=29

，
解得a₁=1，d=4，
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
S_n=n+

n(n-1)

2

×4=2n²-n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴T_n=

1

4

（1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

）
=

1

4

（1-

1

4n+1

），
∴T₁₀₀=

1

4

(1-

1

401

)=

100

401

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．