Question

求f（x）=x²-2tx+2在[1，2]上的最小值g（t）．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先将函数配方，确定函数的对称轴，再利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论，从而可求函数f（x）=x²-2tx+2在[1，2]上的最小值g（t）．

解答： 解：f（x）=x²-2tx+2=（x-t）²+2-t²，函数的对称轴是x=t，开口向上，
①当t＜1时，函数在区间[1，2]上单调增，
∴函数f（x）的最小值为f（t）=f（1）=3-2t；
②当1≤t≤2时，函数在区间[1，t]上单调减，在区间[t，2]上单调增，
∴f（x）的最小值为f（t）=2-t²；
③当t＞2时，函数在区间[1，2]上单调减，
∴f（x）的最小值为f（2）=6-4t．
综上可知，f（x）的最小值为g（t）=

3-2t，t＜1 2-t2，1≤t≤2 6-4t，t＞2

．

点评：本题重点考查二次函数在指定区间上的最值问题，解题的关键是正确配方，确定函数的对称轴，利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论．