Question

已知直线l的参数方程为

x=1-2t y=t

，曲线C的参数方程为

x=cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数）．
（1）将直线l与曲线C的参数方程化为一般方程；
（2）若已知P（x，y）是曲线C上的一点，求x+y的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由直线l的参数方程为

x=1-2t y=t

，消去参数t即可得出．由曲线C的参数方程为

x=cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数），化为cosθ=x，sinθ=

y

3

．利用cos²θ+sin²θ=1，即可得出．
（2）利用曲线C的参数方程、两角和差的正弦、正弦的单调性即可得出．

解答： 解：（1）直线l的参数方程为

x=1-2t y=t

，消去参数t可得x+2y-1=0．
曲线C的参数方程为

x=cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数），化为cosθ=x，sinθ=

y

3

．
∴x2+(

y

3

)2=cos²θ+sin²θ=1，即x2+

y2

3

=1．
（2）x+y=cosθ+

3

sinθ=2sin(θ+

π

6

)≤2．当且仅当sin(θ+

π

6

)=1时取等号．
∴x+y=的最大值为2．

点评：本题考查了同角三角函数的基本关系式、两角和差的正弦、正弦的单调性，属于基础题．