Question

下列命题中正确的是

 

（填写所有正确命题的编号）．
①若f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，则f（2）的值用二进制表示为111101；
②若a＞0，b＞0，m＞0，则

b

a

≤

b+m

a+m

；
③函数y=xlnx与y=

lnx

x

在点（1，0）处的切线相同；
④?x∈R，e^x≥ex；
⑤已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（-1）=3，则f（1）+f（2）+f（3）…+f（2013）+f（2014）的值为-3．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①根据二进制表示为111101的表示主式即可进行判断；
对于②根据不等式的基本性质，比较大小的方法是做差，只需将比较的两个分式做差与零比较大小即可．

b+m

a+m

-

b

a

=

ab+am-ab-bm

a(a+m)

=

m(a-b)

a(a+m)

，与零比较即可求出．
对于③利用求导法则，以及（lnx）′=

1

x

，求出函数解析式的导函数，然后把切点的横坐标x=1代入导函数中，求出的导函数值即为所求切线即得．
对于④用导数求函数的单调区间，先求函数的导数，再令其大于0，利用单调性即可证得．
对于⑤先根据奇函数的性质得到f（0）=0，再由对称性得到f（2）=f（0）=0，再由奇函数和关于直线x=1对称得到f（4）=f（-2）=0，同样得到当x为偶数时，f（x）=0；根据f（-1）=3和f（x）为奇函数得到f（1）=-f（-1）=-3，再由函数f（x）关于直线x=1对称得到f（3）=f（-1）=3，进而可得到当x为奇数时，f（x）=1或者-1交替出现，进而可得到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）的值．

解答： 解：①二进制111101即：2⁵+2⁴+2³+2×2+1=f（2）故①正确；
②∵

b+m

a+m

-

b

a

=

ab+am-ab-bm

a(a+m)

=

m(a-b)

a(a+m)

，
∵a＞b＞0，m＞0，∴a-b＞0，a+m＞0
∴

m(a-b)

a(a+m)

＞0
∴

b+m

a+m

＞

b

a

故②错误；
③函数y=xlnx求导得：y′=lnx+1，
把x=1代入导函数得：y′_|x=1=ln1+1=1，
则所求相切线斜率为1．
 y′=

(lnx)′-lnx•x′

x2

=

1-lnx

x2

，
 y'（1）=1，
又当x=1时y=0
∴切线方程为y=x-1，
切线相同，故③正确．
对于④：设f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e，
令f′（x）＞0得x＞1，
∴函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（-∞，1]，∴f（x）＞f（1），即?x∈R，e^x≥ex
故④正确．
对于⑤，根据奇函数性质，f（0）=0
∵f（x）关于直线x=1对称，∴f（2）=f（0）=0
再由奇函数性质，f（-2）=-f（2）=0
再由关于直线x=1对称性质，f（4）=f（-2）=0
∴f（-4）=-f（4）=0
∴f（6）=f（-4）=0
…
∴当x为偶数时，f（x）=0，
由题意，f（-1）=3，
根据奇函数性质，f（1）=-f（-1）=-3，
根据关于直线x=1对称性质，f（3）=f（-1）=3，
不难得出，当x为奇数时，f（x）=3或者-3，交替出现，最后出现的一个是f（2013），很明显f（2013）=-3，前面的2012个全部抵消掉了
故而最终结果就是-3．故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．

点评：本题考查了不等式的基本性质，要用做差法进行因式分解与0进行比较即可．同时考查了利用导数求曲线方程上某点切线方程的斜率，求导法则运用，以及简单复合函数的导数的求法，以及利用函数性质的运用．