Question

设四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且直线PA⊥平面ABCD．过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，当三棱锥E-BCD的体积取到最大值时，侧棱PA的长度为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：连接AC，作EF⊥AC于点F，可知EF为点E到平面BCD的距离，求EF取得最大值时PA的长度即可．

解答： 解，连接AC，作EF⊥AC于点F，可知EF为点E到平面BCD的距离，
则设PA=x，则PC=

2+x2

，
则sin∠APC=

2

2+X2

，
则EF=xsin∠APC•sin∠APC=

2x

2+x2

=

1

2+x2 2x

∵

2+x2

2x

=

1

x

+

x

2

≥2

1 x • x 2

=

2

（当且仅当

1

x

=

x

2

，即x=

2

时，等号成立）
∴

1

2+x2 2x

≤

1

2

=

2

2

即EF≤

2

2

．
则当EF=

2

2

时，三棱锥E-BCD的体积取到最大值，
此时侧棱PA的长度为

2

．

点评：本题考查了空间几何体中的最值问题，常用到基本不等式和函数的单调性求解．