Question

8．已知圆M过点A（1，3），B（4，2），且圆心在直线y=x-3上．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）若过点（-4，1）的直线l与圆M相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出线段AB的中点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），直线AB的斜率k_AB=-$\frac{1}{3}$，从而得到AB的中垂线方程为y=3x-5，再由圆心M在直线y=x-3上，联立方程组，求出圆心M，从而求出r=|MA|，由此能求出圆M的方程．
（Ⅱ）当直线l的方程为x=-4时，符合条件，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx-y+4k+1=0，则圆心M到直线l的距离d=$\frac{|5k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，求出k，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵圆M过点A（1，3），B（4，2），
∴线段AB的中点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），直线AB的斜率k_AB=$\frac{3-2}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
∴AB的中垂线方程为y-$\frac{5}{2}$=3（x-$\frac{5}{2}$），即y=3x-5，
∵圆心M在直线y=x-3上．∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-5}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，得M（1，-2），
∴r=|MA|=$\sqrt{（1-1）^{2}+（3+2）^{2}}$=5，
∴圆M的方程为（x-1）²+（y+2）²=25．
（Ⅱ）当直线l的方程为x=-4时，符合条件，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y-1=k（x+4），即kx-y+4k+1=0，
圆心M到直线l的距离d=$\frac{|5k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解得k=$\frac{8}{15}$，
∴y=$\frac{8}{15}x+\frac{47}{15}$，
综上，直线l的方程为x=-4或y=$\frac{8}{15}x+\frac{47}{15}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与圆的位置关系、直线方程、圆、两点间距离公式、点一直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．