Question

【题目】已知函数f（x）= sinxcosx+cos2x，x∈R．
（1）把函数f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0， ]上的最大值；
（2）在△ABC中，角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，b= ，f（ ）=1，S△ABC=3 ，求a和c的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得：f（x）= sinxcosx+cos2x= sin2x+ cos2x+ =sin（2x+ ）+ ．

把函数f（x）的图象向右平移 个单位，可得g（x）=sin[2（x﹣ ）+ ]+ =sin（2x﹣ ）+ ．

∵x∈[0， ]，∴2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴当2x﹣ = 时，即x= ，g（x）取得最大值

（2）解：∵f（ ）=1，

∴f（ ）=sin（B+ ）+ =1，sin（B+ ）= ，

∵0＜B＜π， ＜B+ ＜ ，

∴B+ = ，B= ，

∵S△ABC=3 ，

∴ =3 ，解得：ac=12．①

又由余弦定理可得：b2=37=a2+c2﹣2accos ，可得：a2+c2=25．②

由①②解得：a=4，c=3，或a=3，c=4…

【解析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x+ ）+ ．利用平移变换可得g（x）=sin（2x﹣ ）+ ．由x∈[0， ]，可得2x﹣ ∈[﹣ ， ]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．（2）由f（ ）=1，可得sin（B+ ）= ，结合范围0＜B＜π可求B= ，由S△ABC=3 ，可解得：ac=12．又由余弦定理可得：a2+c2=25．联立方程即可解得a，c的值．
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式和正弦定理的定义的相关知识点，需要掌握两角和与差的正弦公式：；正弦定理:才能正确解答此题．