Question

8．在△ABC中，角$C=\frac{π}{3}$，边AB=1，则△ABC周长的取值范围是（　　）

• A． （2，3]
• B． [1，3]
• C． （0，2]
• D． （2，5]

Answer 1

分析 由正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，再由两角和差的正弦公式，结合正弦函数的性质，计算即可得到所求范围．

解答 解：由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{sin\frac{π}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即有a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，
则△ABC周长=a+b+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinB）+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）+1
=2sin（A+$\frac{π}{6}$）+1，
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$，可得：$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，解得：$\frac{1}{2}＜$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1
解得：2sin（A+$\frac{π}{6}$）+1∈（2，3]．
故选：A．

点评 本题考查正弦定理的运用，两角和差的正弦、余弦公式和余弦函数的性质的运用，考查运算能力，属于中档题．