Question

5．在数列{a_n}中，a₁=1，3S_n=a_n+1-1
（1）求a_n
（2）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵3S_n=a_n+1-1，
∴当n=1时，3a₁=a₂-1，a₁=1，解得a₂=4，∴a₂=4a₁．
当n≥2时，3S_n-1=a_n-1，3a_n=a_n+1-a_n，化为a_n+1=4a_n，
∴数列{a_n}为等比数列，首项为1，公比为4．
∴a_n=4^n-1．
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•4^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+3×4+5×4²+…+（2n-1）•4^n-1．
4T_n=4+3×4²+…+（2n-3）×4^n-1+（2n-1）×4ⁿ，
∴-3T_n=1+2×4+2×4²+…+2×4^n-1-（2n-1）×4ⁿ=$2×\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$-1-（2n-1）×4ⁿ=$\frac{（5-6n）×{4}^{n}-5}{3}$，
∴T_n=$\frac{（6n-5）×{4}^{n}+5}{9}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．