Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点(1，

3

2

)，离心率为

3

2

，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

EM

•

FN

的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
依题意得

a2=b2+c2 c a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

解之可得a²=4，b²=1．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．
（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，
易得E(1，

3

2

)，F(1，-

3

2

)，M(3，-

3

2

)，N(3，

3

2

)，所以

EM

•

FN

=1．…（6分）
（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x-1），显然k=0时，不符合题意．
由

y=k(x-1) x2+4y2-4=0

消y并整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

4k2+1

，x1x2=

4k2-4

4k2+1

．
直线AE，AF的方程分别为：y=

y1

x1-2

(x-2)，y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，则M(3，

y1

x1-2

)，N(3，

y2

x2-2

)．
所以

EM

=(3-x1，

y1(3-x1)

x1-2

)，

FN

=(3-x2，

y2(3-x2)

x2-2

)．…（10分）
所以

EM

•

FN

=(3-x1)(3-x2)+

y1(3-x1)

x1-2

•

y2(3-x2)

x2-2

=(3-x1)(3-x2)(1+

y1y2

(x1-2)(x2-2)

)=(3-x1)(3-x2)(1+k2•

(x1-1)(x2-1)

(x1-2)(x2-2)

)
=[x1x2-3(x1+x2)+9]×[1+k2•

x1x2-(x1+x2)+1

x1x2-2(x1+x2)+4

]
=(

4k2-4

4k2+1

-3•

8k2

4k2+1

+9)•(1+k2•

4k2-4 4k2+1 - 8k2 4k2+1 +1

4k2-4 4k2+1 -2• 8k2 4k2+1 +4

)
=(

16k2+5

4k2+1

)•(1+

-3k2

4k2

)=

16k2+5

16k2+4

=1+

1

16k2+4

．…（12分）
因为k²＞0，所以16k²+4＞4，所以1＜

16k2+5

16k2+4

＜

5

4

，即

EM

•

FN

∈(1，

5

4

)．
综上所述，

EM

•

FN

的取值范围是[1，

5

4

)．…（14分）