Question

3．我县2014年末汽车保有量为2万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的5%，并且每年新增汽车数量相同，为保护全县环境，缓解交通压力，要求我县汽车保有量不超过5万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

Answer 1

分析 设每年新增汽车为x万辆，从2014年起该城市第n年末的汽车保有量为a_n，依题意可知b₁=30，根据题意{a_n-20x}是以0.95为公比，以2-20x为首项的等比数列，判断出数列的单调性，然后利用数列的极限求得问题的答案．

解答 解：设每年新增汽车为x万辆，从2014年起该城市第n年末的汽车保有量为a_n
则a_n=（1-5%）a_n-1+x=0.95a_n-1+x（n≥2），即a_n-20x=0.95（a_n-1-20x）
∴{a_n-20x}是以0.95为公比，以2-20x为首项的等比数列
∴$a{\;}_n-20x=（2-20x）•{0.95^{n-1}}$，即${a_n}=20x+（2-20x）•{0.95^{n-1}}$…（7分）
（1）当2-20x≥0即x≤0.1时，a_n≤a_n-1≤…≤a₁=2
（2）当2-20x＜0即x＞0.1时，数列{a_n}为递增数列，且n→+∞时，a_n→20x
由题20x≤5，即x≤0.25（万辆）…（11分）
综上，每年新增汽车不应超过0.25万辆．…（12分）

点评 本题主要考查了数列的应用，以及数列与不等式的综合．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．