Question

13．已知函数f（x）=log_a（2^x-3）（a＞0且a≠1），
（1）求f（x）函数的定义域；
（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范围；
（3）当x∈[2，5]，求f（x）函数的值域．

Answer 1

分析 （1）求定义域只有满足2^x-3＞0即可；
（2）分a＞1或0＜a＜1来分别求解，
（3）根据x的取值范围，先求2^x-3的取值范围，然后在讨论a求函数的值域．

解答 解：（1）要使f（x）=log_a（2^x-3）有意义，只要
2^x-3＞0，解得x＞log₂3，
故f（x）的定义域为（log₂3，+∞）；
（2）当a＞1时，有2^x-3＞1，解得x＞2；
当0＜a＜1时，有0＜2^x-3＜1，解得log₂3＜x＜2；
（3）当x∈[2，5]时，
∴1≤2^x-3≤29，
当a＞1时，f（x）函数的值域为：[0，log_a29]，
当0＜a＜1时，f（x）函数的值域：[log_a29，0]

点评 本题主要考查函数的定义域，函数的性质，属于中档题．