Question

4．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{f_1}（x），x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{{f_2}（x），x∈[\frac{1}{2}，1]}\end{array}}$，其中f₁（x）=-2（x-$\frac{1}{2}$）²+1；f₂（x）=-2x+2，若x₀∈[0，$\frac{1}{2}$），x₁=f（x₀），f（x₁）=x₀，则x₀=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{f_1}（x），x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{{f_2}（x），x∈[\frac{1}{2}，1]}\end{array}}$，其中f₁（x）=-2（x-$\frac{1}{2}$）²+1；f₂（x）=-2x+2，根据x₀∈[0，$\frac{1}{2}$），x₁=f（x₀），f（x₁）=x₀，构造方程，解得答案．

解答 解：当x₀∈[0，$\frac{1}{2}$），x₁=f（x₀）=-2（x₀-$\frac{1}{2}$）²+1∈[$\frac{1}{2}$，1），
∴f（x₁）=-2x₁+2=-2[-2（x₀-$\frac{1}{2}$）²+1]+2=x₀，
即4x₀²-3x₀+1=0，解得：x₀=$\frac{1}{4}$，或x₀=1（舍去），
故x₀=$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，难度不大，属于中档题．