Question

18．已知函数$f（x）=2sinxcos（φ-x）-\frac{1}{2}$（$0＜φ＜\frac{π}{2}$）的图象过点$（\frac{π}{3}，1）$．
（Ⅰ）求φ的值；        
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得$2sin\frac{π}{3}cos（φ-\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}=1$，结合φ的范围求得φ；
（Ⅱ）把φ代入函数解析式，利用复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=2sinxcos（φ-x）-\frac{1}{2}$的图象过点$（\frac{π}{3}，1）$．
得$2sin\frac{π}{3}cos（φ-\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}=1$，得cos（φ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$0＜φ＜\frac{π}{2}⇒-\frac{π}{3}＜φ-\frac{π}{3}＜\frac{π}{6}$，
∴$φ-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}⇒φ=\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{6}-x）-\frac{1}{2}=2sinx（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx+\frac{1}{2}sinx）-\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}-\frac{1}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]（k∈Z）$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．