精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(本题14分)
设函数
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根,求实数的取值范围.
(Ⅰ)函数的单调递增区间为.(Ⅱ)

试题分析:(1)确定出函数的定义域是解决本题的关键,利用导数作为工具,求出该函数的单调递增区间即为f'(x)>0的x的取值区间;
(2)方法一:利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键.构造函数,研究构造函数的性质尤其是单调性,列出该方程有两个相异的实根的不等式组,求出实数a的取值范围.
方法二:先分离变量再构造函数,利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性,根据题意列出关于实数a的不等式组进行求解.
解:(Ⅰ)函数的定义域为,………………………1分
,………………………2分
,则使的取值范围为
故函数的单调递增区间为. …………………………4分
(Ⅱ)方法1:∵
.…………………6分
,              
,且

在区间内单调递减,在区间内单调递增,……………………9分
在区间内恰有两个相异实根……11分
解得:
综上所述,的取值范围是.………………13分
方法2:∵
.………………6分

, ∵,且

在区间内单调递增,在区间内单调递减.………9分

,故在区间内恰有两个相异实根.……11分

综上所述,的取值范围是.  …………………14分
点评:解决该试题的关键将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题。
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数,讨论的单调性.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知一等差数列的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此等差数列的项数是(    )
A.5B.6C.7D.8

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

曲线在点处的切线斜率为                 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

我们把形如的函数称为幂指函数,幂指函数在求导时,可以利用对数法:在函数解析式两边取对数得,两边对求导数,得,于是,运用此方法可以求得函数处的切线方程是­________________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ) 求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值时,对于任意的,函数g(x)=x3 +x2在区间上总存在极值?
(Ⅲ)当时,设函数,若在区间上至少存在一个
使得成立,试求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若直线是曲线的切线,求实数的值;
(Ⅲ)设,求在区间上的最大值.(其中为自然对数的底数)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)
已知函数 (R).
(1) 若,求函数的极值;
(2)是否存在实数使得函数在区间上有两个零点,若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案