试题分析:(1)确定出函数的定义域是解决本题的关键,利用导数作为工具,求出该函数的单调递增区间即为f'(x)>0的x的取值区间;
(2)方法一:利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键.构造函数,研究构造函数的性质尤其是单调性,列出该方程有两个相异的实根的不等式组,求出实数a的取值范围.
方法二:先分离变量再构造函数,利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性,根据题意列出关于实数a的不等式组进行求解.
解:(Ⅰ)函数
的定义域为
,………………………1分
∵
,………………………2分
∵
,则使
的
的取值范围为
,
故函数
的单调递增区间为
. …………………………4分
(Ⅱ)方法1:∵
,
∴
.…………………6分
令
,
∵
,且
,
由
.
∴
在区间
内单调递减,在区间
内单调递增,……………………9分
故
在区间
内恰有两个相异实根
……11分
即
解得:
.
综上所述,
的取值范围是
.………………13分
方法2:∵
,
∴
.………………6分
即
,
令
, ∵
,且
,
由
.
∴
在区间
内单调递增,在区间
内单调递减.………9分
∵
,
,
,
又
,故
在区间
内恰有两个相异实根
.……11分
即
.
综上所述,
的取值范围是
. …………………14分
点评:解决该试题的关键将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题。