Question

（本小题满分14分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（Ⅲ）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）

Answer 1

（Ⅰ）当时，在单调增加

（Ⅱ）当时，在单调减少，在单调增加；
若时，；
若时，；
（Ⅲ）时，；时，。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用
（1）利用导数的几何意义可知切点坐标，以及切线的斜率，点斜式方程写出结论。
（2）对数参数a进行分类讨论得到函数的单调性，进而分析得到函数的最值。
解：①（）
令，则，又的定义域是

		（0,2）	2	（2，）
			0

②设切点为则  解得
③      
令，则，
（Ⅰ）当时，在单调增加

（Ⅱ）当时，在单调减少，在单调增加；
若时，；
若时，；
（Ⅲ）当时，在上单调递减，；
综上所述，时，；
时，。