Question

已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer 1

(1) 函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）函数，求解定义域和导数，然后利用导数的正负号判定单调性。
（2）由已知，转化为.，然后分别求解最值得到参数的范围。
解：(1)，     ………………2分
①当时，由于，故，         ………………3分
所以，的单调递增区间为.        ………………4分
②当时，由，得. ………………5分
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.…………7分
（2）由已知，转化为.                    ………………8分
                                              ………………9分
由(1)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)     ………………11分
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，  ………14分
所以，解得.          ………15分