Question

4．函数f（x）=sinx-cosx+x+1在$[{\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上的最大值为π+2．

Answer 1

分析 将函数f（x）化简，求导函数，利用导函数的性质判断函数f（x）的单调性，可得在$[{\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}}]$上的最大值．

解答 解：函数f（x）=sinx-cosx+x+1=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+x+1．
则f′（x）=$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）+1，
∵x∈$[{\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}}]$，
∴x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
令 f′（x）=0．
则：x=π或$\frac{3π}{2}$．
当x∈（$\frac{3π}{4}$，π）时，f′（x）＞0，则f（x）在x∈（$\frac{3π}{4}$，π）上单调递增，
当x∈（π，$\frac{3π}{2}$）时，f′（x）＜0，则f（x）在x∈（π，$\frac{3π}{2}$）上单调递减．
∴当x=π，函数f（x）取得最大值为：π+2．
故答案为：π+2．

点评 本题考查了三角函数的导函数的运用和化简计算能力．属于中档题．