Question

12．已知函数f（x）=5x²+$\frac{a}{x}$+$\frac{1}{4}$（x＞0），g（x）=lnx+4，曲线y=g（x）在点（1，4）处的切线与曲线y=f（x）相切．
（1）求实数a的值；
（2）证明：当x≥0时，f（x）＞g（x）

Answer 1

分析 （1）由g（x）=lnx+4，得g′（x）=$\frac{1}{x}$，由导数的几何意义得曲线在（1，4）处的切线方程为y=x+3，由f′（x）=10x-$\frac{a}{{x}^{2}}$，且函数f（x）=5x²+$\frac{a}{x}$+$\frac{1}{4}$（x＞0）与y=x+3相切，能求出实数a的值．
（2）f（x）=5x²+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{4}$（x＞0），设h（x）=f（x）-（x+3）=5x²+$\frac{1}{x}$-x-$\frac{11}{4}$，则h′（x）=10x-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1=$\frac{10{x}^{3}-{x}^{2}-1}{x}$设m（x）=10x³-x²-1，则m′（x）=30x²-2x=2x（15x-1），由此利用导数性质能证明当x≥0时，f（x）＞g（x）．

解答 解：（1）由g（x）=lnx+4，得g′（x）=$\frac{1}{x}$，
y=g（x）在（1，4）处的切线斜率k=g′（1）=1，
则曲线在（1，4）处的切线方程y-4=（x-1），即y=x+3，
由函数f（x）=5x²+$\frac{a}{x}$+$\frac{1}{4}$（x＞0），求导得，f′（x）=10x-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
由函数f（x）=5x²+$\frac{a}{x}$+$\frac{1}{4}$（x＞0）与y=x+3相切，
则设切点P（x₀，5x₀²+$\frac{a}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{4}$），则10x₀-$\frac{a}{{{x}_{0}}^{2}}$=1，即a=10x₀³-x₀²，①
则在P处的切线方程：y-（5x₀²+$\frac{a}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{4}$）=x-x₀，
整理得：y=x+（5x₀²+$\frac{a}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{4}$）-x₀，则5x₀²+$\frac{a}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{4}$-x₀=3，②
由x＞0，解得：x=$\frac{1}{2}$，a=1，
∴实数a的值为1；
（2）证明：由（1）可知：f（x）=5x²+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{4}$（x＞0），
设h（x）=f（x）-（x+3）=5x²+$\frac{1}{x}$-x-$\frac{11}{4}$，
则h′（x）=10x-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1=$\frac{10{x}^{3}-{x}^{2}-1}{x}$
设m（x）=10x³-x²-1，∴m′（x）=30x²-2x=2x（15x-1），
令m′（x）=0，解得x=$\frac{1}{15}$，
当x∈（0，$\frac{1}{15}$），m′（x）＜0，函数递减，
当x∈（$\frac{1}{15}$，+∞），m′（x）＞0，函数递增，
∵m（0）=-1＜0，m（1）=8＞0，
∴?x₀∈（0，1），使10x₀³-x₀²-1=0，∴10x₀²=$\frac{1+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}$，
∴h（x）在（0，x₀）上递减，在（x₀，+∞）上递增，
∴h（x）_min=h（x₀）=$5{{x}_{0}}^{2}+\frac{1}{{x}_{0}}-{x}_{0}-\frac{11}{4}$
=$\frac{1}{2}（{x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}）+\frac{1}{{x}_{0}}-{x}_{0}-\frac{11}{4}$
=$\frac{3}{2{x}_{0}}-\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{1}{4}$＞$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$＞0，
∴f（x）＞x+3，
设t（x）=x+3-ln（x+4），x＞-4，则${t}^{'}（x）=1-\frac{1}{x+4}$=$\frac{x+3}{x+4}$，
由t′（x）＞0，得x＞-3，由t′（x）＜0，得-4＜x＜-3，
∴t（x）的增区间是（-3，+∞），减区间是（-4，-3），
∴t（x）_min=t（-3）=0，∴当x≥0时，ln（x+4）＜x+3，
∴当x≥0时，f（x）＞g（x）．

点评 本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质及应用、导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．