Question

17．已知对任意平面向量$\overrightarrow{AB}$=（x，y），把$\overrightarrow{AB}$绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到的向量$\overrightarrow{AP}$=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ得到点P．
（1）已知平面内点A（2，3），点B（2+2$\sqrt{3}$，1）．把点B绕点A逆时针方向旋转$\frac{π}{6}$角得到点P，求点P的坐标．
（2）设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿顺时针方向旋转$\frac{π}{4}$后得到的点的轨迹方程是曲线y=$\frac{1}{x}$，求原来曲线C的方程．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{AB}=（2\sqrt{3}，-2）$，设点P的坐标为P（x，y），求出$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{AB}$绕点A逆时针方向旋转$\frac{π}{6}$角得到：$\overrightarrow{AP}$，列出方程求解即可．
（2）设旋转前曲线C上的点为（x，y），旋转后得到的曲线$y=\frac{1}{x}$上的点为（x'，y'），通过$\left\{\begin{array}{l}x=x'cos\frac{π}{4}-y'sin\frac{π}{4}\\ y=x'sin\frac{π}{4}+y'sin\frac{π}{4}\end{array}\right.$整合求解即可．

解答 解：（1）∵A（2，3），$B（2+2\sqrt{3}，5）$，∴$\overrightarrow{AB}=（2\sqrt{3}，-2）$，
设点P的坐标为P（x，y），则$\overrightarrow{AP}=（x-2，y-3）$…（2分
）$\overrightarrow{AB}$绕点A逆时针方向旋转$\frac{π}{6}$角得到：$\overrightarrow{AP}=（2\sqrt{3}cos\frac{π}{6}+2sin\frac{π}{6}，2\sqrt{3}sin\frac{π}{6}-2cos\frac{π}{6}）$=（4，0）…（4分）
∴（x-2，y-3）=（4，0）即$\left\{\begin{array}{l}x-2=4\\ y-3=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=3\end{array}\right.$，
即P（6，3）…（6分）
（2）设旋转前曲线C上的点为（x，y），旋转后得到的曲线$y=\frac{1}{x}$上的点为（x'，y'），则$\left\{\begin{array}{l}x=x'cos\frac{π}{4}-y'sin\frac{π}{4}\\ y=x'sin\frac{π}{4}+y'sin\frac{π}{4}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}x'=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+y）\\ y'=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（y-x）\end{array}\right.$…（10分）
代入$y=\frac{1}{x}$得x'y'=1即y²-x²=2…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，向量的旋转，考查转化思想以及计算能力．