Question

7．如图，在直角坐标系xOy中，将直线y=$\frac{x}{2}$与直线x=1及x轴所围成的图形（阴影部分）绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V_圆锥=${∫}_{0}^{1}$π（$\frac{x}{2}$）²dx=$\frac{π}{12}$x³|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{π}{12}$．据此类比：将曲线y=x³（x≥0）与直线y=8及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=$\frac{96π}{5}$．

Answer 1

分析 由曲线y=x³（x≥0）求出x=${y}^{\frac{1}{3}}$，
类比得出旋转体的体积为V=${∫}_{0}^{8}$π•${{（y}^{\frac{1}{3}}）}^{2}$dy．

解答 解：根据题意，由曲线y=x³（x≥0）得出x=$\root{3}{y}$=${y}^{\frac{1}{3}}$；
类比得出旋转体的体积为
V=${∫}_{0}^{8}$π•${{（y}^{\frac{1}{3}}）}^{2}$dy
=π${∫}_{0}^{8}$${y}^{\frac{2}{3}}$dy
=$\frac{3π}{5}$•${y}^{\frac{5}{3}}$${|}_{0}^{8}$
=$\frac{3π}{5}$×2⁵
=$\frac{96π}{5}$．
故答案为：$\frac{96π}{5}$．

点评 本题考查了类比计算旋转体的体积应用问题，也考查了利用定积分计算几何体体积的问题，是中档题．