Question

2．已知圆C：（x-2）²+（y-3）²=16及直线l：（m+2）x+（3m+1）y=15m+10（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）当直线l被圆C截得的弦长的最短时，求此时直线l方程．

Answer 1

分析 （1）利用直线系求出直线恒过的定点坐标判断点与圆的位置关系，推出结果即可．
（2）利用圆的半径弦心距与半弦长的关系判断所求直线的位置，求出斜率，即可得到直线方程．

解答 解：（1）证明：直线l可化为2x+y-10+m（x+3y-15）=0，
即不论m取什么实数，它恒过两直线2x+y-10=0与x+3y-15=0的交点．两方程联立，解得交点为（3，4）．
又有（3-2）²+（4-3）²=2＜16，
∴点（3，4）在圆内部，
∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交．…（6分）
（2）解：从（1）的结论和直线l过定点M（3，4）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，…（8分）
此时，k_l=-$\frac{1}{kCM}$，从而k_l=-$\frac{1}{\frac{4-3}{3-2}}$=-1，…（10分）
∴l的方程为y-4=-（x-3），即x+y=7．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．