Question

11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且$\sqrt{3}$csinA-acosC+b-2c=0．
（1）求角A的大小；
（2）求cosB+cosC的范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得$\sqrt{3}sinCsinA+cosAsinC-2sinC=0$，结合sinC≠0，可得$sin（A+\frac{π}{6}）=1$，结合A的范围可求A的值．
（2）由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可求cosB+cosC=sin（C+$\frac{π}{6}$），结合范围$\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$，利用正弦函数的性质可求范围．

解答 解：（1）因为$\sqrt{3}csinA-acosC+b-2c=0$，
所以$\sqrt{3}sinCsinA-sinAcosC+sinB-2sinC=0$，
因为sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
所以$\sqrt{3}sinCsinA+cosAsinC-2sinC=0$，
又sinC≠0，
所以$\sqrt{3}sinA+cosA=2$，可得：$sin（A+\frac{π}{6}）=1$，
因为△ABC是锐角三角形，
所以，$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{π}{3}$，
（2）因为$A=\frac{π}{3}$，
所以$B+C=\frac{2π}{3}$，$cosB+cosC=cos（{\frac{2π}{3}-C}）+cosC=sin（{C+\frac{π}{6}}）$，
因为△ABC是锐角三角形，
所以$\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$，cosB+cosC的范围$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．