Question

17．已知$sinα+cosα=\frac{1}{5}，0＜α＜π$，
（1）求tanα；
（2）求sin²α+sinαcosα的值．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，可得α∈（$\frac{π}{2}，π$），求出sinα-cosα的值，与原式联立求得sinα、cosα的值．
（1）直接由商的关系求得tanα；
（2）把分母中的“1”用平方关系代替，化弦为切求解．

解答 解：由$sinα+cosα=\frac{1}{5}$，得$si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα=\frac{1}{25}$，
∴2sinαcosα=$-\frac{24}{25}$．
∵0＜α＜π，∴α∈（$\frac{π}{2}，π$），
则sinα＞0，cosα＜0．
则sinα-cosα=$\sqrt{（sinα-cosα）^{2}}=\sqrt{1-2sinαcosα}$=$\sqrt{1+\frac{24}{25}}=\frac{7}{5}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{sinα+cosα=\frac{1}{5}}\\{sinα-cosα=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{4}{5}}\\{cosα=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$．
（1）tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}$；
（2）sin²α+sinαcosα=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{（-\frac{4}{3}）^{2}-\frac{4}{3}}{（-\frac{4}{3}）^{2}+1}$=$\frac{4}{25}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，把已知等式两边平方，判断α的范围是关键，属中档题．